数论：欧拉函数的计算与性质（Mathematica）

1、性质1：当p为素数时，p^n的欧拉函数值，等于(p-1)p^(n-1)。

下面，我们举例验证。首先使用Prime函数产生10个素数，依次令n等于2,3,4,5,10计算欧拉函数。

2、产生的10个素数为第一行所示。

下边是对公式的验证，可见数值都是一致的。

3、下边我们举例简要说明原因。

p^n的质因子只有p。故与p^n不互素的只有p的倍数，即0,p,2p,3p...p^n-p。

4、这些不互素的一共有p^n/p个。

用完系中所有元素减去不互素的元素，剩下的元素就是缩系的元素。

元素个数为p^n-p^n/p=(p-1)p^(n-1)

5、性质2：欧拉函数的极性。

如图，计算m*n的欧拉函数值，其中m和n互素。

则EulerPhi[m*n]=EulerPhi[m]*EulerPhi[n]。

如果m和n不互素则不成立。

6、然后是一般情况下，欧拉函数的计算流程。其中用到了前两个性质。

把n质因数分解，然后把各个质因子带入最终公式，计算欧拉函数值。

证明过程如图。

7、如图举了一个实际的例子，计算EulerPhi[738]。

把这个数质因子分解，质因子有2,3,41。

把这三个数带入最终公式，算得240。